-algebra



Alle kennis die de mens in de loop der eeuwen over -algebra heeft vergaard, is nu op het internet beschikbaar, en wij hebben die voor u op een zo toegankelijk mogelijke manier gebundeld en geordend. Wij willen dat u snel en efficiënt toegang krijgt tot alles wat u over -algebra wilt weten; dat uw ervaring plezierig is en dat u het gevoel hebt dat u echt de informatie over -algebra hebt gevonden waarnaar u op zoek was.

Om onze doelstellingen te bereiken hebben wij ons niet alleen ingespannen om de meest actuele, begrijpelijke en waarheidsgetrouwe informatie over -algebra te verkrijgen, maar wij hebben er ook voor gezorgd dat het ontwerp, de leesbaarheid, de laadsnelheid en de bruikbaarheid van de pagina zo aangenaam mogelijk zijn, zodat u zich kunt concentreren op het wezenlijke, het kennen van alle beschikbare gegevens en informatie over -algebra, zonder dat u zich zorgen hoeft te maken over iets anders, wij hebben het al voor u geregeld. Wij hopen dat wij ons doel hebben bereikt en dat u de informatie heeft gevonden die u zocht over -algebra. We heten u dus van harte welkom en moedigen u aan om te blijven genieten van de ervaring van het gebruik van scientianl.com .

In wiskundige analyse en in waarschijnlijkheidstheorie , een -algebra (ook -veld ) op een set X : (1) is een verzameling van deelverzamelingen van X inclusief X zelf, (2) het is gesloten onder complement , (3) het is gesloten onder telbare vakbonden , (4) het bevat de lege subset , en (5) het is gesloten onder telbare kruispunten .

Het paar wordt een meetbare ruimte of Borelruimte genoemd.

Een -algebra is een soort algebra van verzamelingen . Een algebra van verzamelingen hoeft alleen te worden gesloten onder de unie of het snijpunt van eindig veel subverzamelingen, wat een zwakkere voorwaarde is.

Het belangrijkste gebruik van -algebra's is in de definitie van maatregelen ; in het bijzonder is de verzameling van die deelverzamelingen waarvoor een bepaalde maat is gedefinieerd noodzakelijkerwijs een -algebra. Dit concept is belangrijk in wiskundige analyse als de basis voor Lebesgue-integratie en in waarschijnlijkheidstheorie , waar het wordt geïnterpreteerd als de verzameling gebeurtenissen waaraan waarschijnlijkheden kunnen worden toegewezen. Ook in waarschijnlijkheid zijn -algebra's cruciaal in de definitie van voorwaardelijke verwachting .

In de statistiek zijn (sub) -algebra's nodig voor de formele wiskundige definitie van een voldoende statistiek , vooral wanneer de statistiek een functie of een willekeurig proces is en het begrip voorwaardelijke dichtheid niet van toepassing is.

Als een mogelijke -algebra is waar is de lege verzameling . In het algemeen is een eindige algebra altijd een -algebra.

Als een aftelbare partitie is van, dan is de verzameling van alle unies van verzamelingen in de partitie (inclusief de lege verzameling) een -algebra.

Een nuttiger voorbeeld is de verzameling deelverzamelingen van de echte lijn gevormd door te beginnen met alle open intervallen en alle telbare vakbonden, telbare snijpunten en relatieve complementen toe te voegen en dit proces voort te zetten (door transfinite iteratie door alle telbare ordinalen ) tot de relevante sluiting eigenschappen worden bereikt - de -algebra die door dit proces wordt geproduceerd, staat bekend als de Borel-algebra op de echte lijn, en kan ook worden opgevat als de kleinste (dwz "grofste") -algebra die alle open verzamelingen bevat, of gelijkwaardig met alle de gesloten sets. Het is van fundamenteel belang om de theorie te meten , en daarom de moderne kansrekening , en een verwante constructie die bekend staat als de Borel-hiërarchie is van belang voor de beschrijvende verzamelingenleer .

Motivatie

Er zijn ten minste drie belangrijke drijfveren voor -algebra's: het definiëren van maten, het manipuleren van limieten van verzamelingen en het beheren van gedeeltelijke informatie die wordt gekenmerkt door verzamelingen.

Meeteenheid

Een maat aan is een functie die een niet-negatief reëel getal toewijst aan subsets van ; dit kan worden gezien als het nauwkeurig maken van een notie van "grootte" of "volume" voor sets. We willen dat de grootte van de unie van onsamenhangende verzamelingen de som is van hun individuele afmetingen, zelfs voor een oneindige reeks van onsamenhangende verzamelingen .

Men zou aan elke subset een grootte willen toekennen, maar in veel natuurlijke omgevingen is dit niet mogelijk. Het keuzeaxioma houdt bijvoorbeeld in dat, wanneer de beschouwde grootte het gewone begrip van lengte is voor subsets van de echte lijn, er sets bestaan waarvoor geen grootte bestaat, bijvoorbeeld de Vitali-verzamelingen . Om deze reden beschouwt men in plaats daarvan een kleinere verzameling van geprivilegieerde subsets van Deze subsets zullen de meetbare sets worden genoemd. Ze zijn gesloten onder operaties die men zou verwachten voor meetbare sets; dat wil zeggen, het complement van een meetbare verzameling is een meetbare verzameling en de aftelbare vereniging van meetbare verzamelingen is een meetbare verzameling. Niet-lege verzamelingen van verzamelingen met deze eigenschappen worden -algebra's genoemd.

Limieten van sets

Veel gebruik van maat, zoals het waarschijnlijkheidsconcept van bijna zekere convergentie , omvat limieten van reeksen reeksen . Hiervoor staat afsluiting onder telbare vakbonden en kruispunten voorop. Ingestelde limieten worden als volgt gedefinieerd op -algebra's.

  • De limiet supremum van een reeks die elk een deelverzameling is van is
  • De limiet infimum van een reeks die elk een subset is van is
  • Als, in feite,
    dan bestaat het als die gemeenschappelijke verzameling.

Sub -algebra

Naar alle waarschijnlijkheid, vooral als het gaat om voorwaardelijke verwachting , gaat het om verzamelingen die slechts een deel van alle mogelijke informatie vertegenwoordigen die kan worden waargenomen. Deze gedeeltelijke informatie kan worden gekarakteriseerd met een kleinere -algebra die een subset is van de belangrijkste -algebra; het bestaat uit de verzameling van subsets die alleen relevant zijn voor en alleen worden bepaald door de gedeeltelijke informatie. Een eenvoudig voorbeeld volstaat om dit idee te illustreren.

Stel je voor dat jij en iemand anders wedden op een spel waarbij je herhaaldelijk een munt opgooit en observeert of deze Heads ( ) of Tails ( ) oplevert . Aangezien jij en je tegenstander elk oneindig rijk zijn, is er geen limiet aan hoe lang het spel kan duren. Dit betekent dat de monsterruimte moet bestaan uit alle mogelijke oneindige reeksen van of :

Echter, na het opgooien van de munt, wilt u misschien uw inzetstrategie bepalen of herzien voordat u de volgende opgooit. De op dat moment waargenomen informatie kan worden beschreven in termen van de 2 n mogelijkheden voor de eerste flips. Formeel, aangezien u subsets hiervan moet gebruiken, is dit gecodeerd als de -algebra

Let daar dan op

waar is de kleinste -algebra die alle andere bevat.

Definitie en eigenschappen

Definitie

Overal, zal een set zijn en zal de power set aanduiden . Een deelverzameling wordt een -algebra genoemd als deze de volgende drie eigenschappen heeft:

  1. is gesloten onder complementatie in : Als een element is van dan is ook het complement ervan
  2. bevat als element :
    • Ervan uitgaande dat (1) geldt, is deze voorwaarde gelijk aan het bevatten van de lege verzameling :
  3. is gesloten onder aftelbare vakbonden : Als elementen van zijn, dan is hun vakbond dat ook
    • Ervan uitgaande dat (1) en (2) gelden, volgt uit de wetten van De Morgan dat deze voorwaarde gelijk is aan gesloten zijn onder aftelbare snijpunten : Als elementen zijn van, dan is hun snijpunt dat ook

Op equivalente wijze is een -algebra een algebra van verzamelingen die is gesloten onder aftelbare vakbonden.

De lege verzameling behoort tot omdat door (2) , in is en dus (1) impliceert dat zijn complement, de lege verzameling, ook in is. Bovendien, aangezien ook aan voorwaarde (3) wordt voldaan , volgt daaruit dat de kleinst mogelijke - is algebra op De grootst mogelijke -algebra op is

Elementen van de -algebra worden meetbare verzamelingen genoemd . Een geordend paar waar een verzameling is en een -algebra over wordt een meetbare ruimte genoemd . Een functie tussen twee meetbare ruimten wordt een meetbare functie genoemd als het voorbeeld van elke meetbare verzameling meetbaar is. De verzameling meetbare ruimten vormt een categorie , met de meetbare functies als morfismen . Maatregelen worden gedefinieerd als bepaalde soorten functies van een -algebra tot

Een -algebra is zowel een - systeem als een Dynkin-systeem (-systeem). Het omgekeerde is ook waar, volgens de stelling van Dynkin (hieronder).

Dynkins - stelling

Deze stelling (of de verwante monotone klassenstelling ) is een essentieel hulpmiddel voor het bewijzen van veel resultaten over eigenschappen van specifieke -algebra's. Het speelt in op de aard van twee eenvoudiger klassen van verzamelingen, namelijk de volgende.

Een -systeem is een verzameling van deelverzamelingen die onder eindig veel snijpunten is gesloten, en
een Dynkin-systeem (of -systeem) is een verzameling deelverzamelingen van dat bevat en is gesloten onder complementaire en onder aftelbare verenigingen van disjuncte deelverzamelingen.

Dynkin's -A stelling zegt, als een -systeem en is een dynkinsysteem dat bevat dan de -algebra gegenereerd door wordt in Aangezien sommige -systemen betrekkelijk eenvoudige klassen, kan het niet moeilijk te controleren of alle sets om te genieten van het object in kwestie, terwijl aan de andere kant aantonen dat het verzamelen van alle subsets met het onroerend goed een Dynkin-systeem is, kan ook eenvoudig zijn. De --stelling van Dynkin houdt dan in dat alle sets in genieten van de eigenschap, waardoor de taak wordt vermeden om deze te controleren op een willekeurige set in

Een van de meest fundamentele toepassingen van de - stelling is om de gelijkwaardigheid van afzonderlijk gedefinieerde maten of integralen aan te tonen. Het wordt bijvoorbeeld gebruikt om een kans voor een willekeurige variabele gelijk te stellen aan de Lebesgue-Stieltjes-integraal die doorgaans wordt geassocieerd met het berekenen van de kans:

voor iedereen in de Borel -algebra on

waar is de cumulatieve verdelingsfunctie voor gedefinieerd op while is een kansmaat , gedefinieerd op een -algebra van deelverzamelingen van een steekproefruimte

Combinatie van -algebra's

Stel dat is een verzameling -algebra's op een ruimte

  • Het snijpunt van een verzameling -algebra's is een -algebra. Om zijn karakter als -algebra te benadrukken, wordt het vaak aangeduid met:
    Schets van bewijs

    Laat de kruising aanduiden. Omdat is in elke is niet leeg. Sluiting onder complement en telbare vakbonden voor elke houdt in dat hetzelfde moet gelden voor Daarom is een -algebra.

  • De vereniging van een verzameling -algebra's is over het algemeen geen -algebra, of zelfs een algebra, maar genereert een -algebra die bekend staat als de join , die meestal wordt aangeduid met
    Een -systeem dat de join genereert is
    Schets van bewijs

    Door het geval wordt gezien dat elk zo

    Dit houdt in
    door de definitie van een -algebra gegenereerd door een verzameling deelverzamelingen. Anderzijds,
    wat, volgens Dynkins - stelling, impliceert

-algebra's voor deelruimten

Stel dat is een deelverzameling van en laat een meetbare ruimte zijn.

  • De verzameling is een -algebra van deelverzamelingen van
  • Stel dat is een meetbare ruimte. De verzameling is een -algebra van deelverzamelingen van

Relatie met -ring

Een -algebra is gewoon een -ring die de universele verzameling bevat Een -ring hoeft geen -algebra te zijn, aangezien meetbare deelverzamelingen van nul Lebesgue-maat in de echte lijn bijvoorbeeld een -ring zijn, maar geen -algebra omdat de echte lijn oneindige maat heeft en dus niet kan worden verkregen door hun aftelbare unie. Als men in plaats van de nulmaat meetbare deelverzamelingen van de eindige Lebesgue-maat neemt, dan is dat een ring maar geen -ring, aangezien de echte lijn kan worden verkregen door hun aftelbare unie, maar de maat ervan is niet eindig.

Typografische noot

-algebra's worden soms aangeduid met kalligrafische hoofdletters of het lettertype Fraktur . Zo kan worden aangeduid als or

Bijzondere gevallen en voorbeelden

Scheidbare -algebra's

Een scheidbare -algebra (of scheidbaar -veld ) is een -algebra die een scheidbare ruimte is wanneer deze wordt beschouwd als een metrische ruimte met metrische voor en een bepaalde maat (en omdat het de symmetrische verschiloperator is). Merk op dat elke -algebra wordt gegenereerd door een aftelbare verzameling van sets is te scheiden, maar het omgekeerde hoeft niet vast te houden. De Lebesgue -algebra is bijvoorbeeld scheidbaar (aangezien elke meetbare Lebesgue-verzameling equivalent is aan een Borel-verzameling) maar niet aftelbaar gegenereerd (aangezien de kardinaliteit hoger is dan het continuüm).

Een scheidbare meetruimte heeft een natuurlijke pseudometrische eigenschap die het scheidbaar maakt als een pseudometrische ruimte . De afstand tussen twee sets wordt gedefinieerd als de maat voor het symmetrische verschil van de twee sets. Merk op dat het symmetrische verschil van twee verschillende sets maat nul kan hebben; daarom hoeft de pseudometriek zoals hierboven gedefinieerd geen echte metriek te zijn. Als sets waarvan het symmetrische verschil maat nul heeft, echter worden geïdentificeerd in een enkele equivalentieklasse , kan de resulterende quotiëntset correct worden gemeten door de geïnduceerde metriek. Als de meetruimte scheidbaar is, kan worden aangetoond dat de bijbehorende metrische ruimte dat ook is.

Eenvoudige set-gebaseerde voorbeelden

Laat een willekeurige set zijn.

  • De familie die alleen bestaat uit de lege verzameling en de verzameling die de minimale of triviale -algebra over . wordt genoemd
  • De machtsverzameling van de zogenaamde discrete -algebra .
  • De verzameling is een eenvoudige -algebra gegenereerd door de subset
  • De verzameling deelverzamelingen van die aftelbaar zijn of waarvan de complementen aftelbaar zijn, is een -algebra (die verschilt van de machtsverzameling van als en slechts als ontelbaar is). Dit is de -algebra gegenereerd door de singletons van Opmerking: "telbaar" omvat eindig of leeg.
  • De verzameling van alle verenigingen van verzamelingen in een aftelbare partitie van is een -algebra.

Stoptijd -algebra's

Een stoptijd kan een -algebra definiëren , de zogenaamde -Algebra van -verleden, die in een gefilterde waarschijnlijkheidsruimte de informatie beschrijft tot aan de willekeurige tijd in die zin dat, als de gefilterde waarschijnlijkheidsruimte wordt geïnterpreteerd als een willekeurig experiment , de maximale informatie die over het experiment kan worden gevonden door het willekeurig vaak te herhalen totdat de tijd rijp is .

-algebra's gegenereerd door families van verzamelingen

-algebra gegenereerd door een willekeurige familie

Laat een willekeurige familie van deelverzamelingen zijn van Dan bestaat er een unieke kleinste -algebra die elke verzameling in bevat (ook al kan het zelf al dan niet een -algebra zijn). Het is in feite het snijpunt van alle -algebra's die (Zie snijpunten van -algebra's hierboven.) Deze -algebra wordt aangeduid en wordt de -algebra genoemd, gegenereerd door

Dan bestaat uit alle deelverzamelingen die kunnen worden gemaakt uit elementen van door een telbaar aantal complement-, unie- en intersectiebewerkingen. Als leeg is, produceren een lege unie en een snijpunt respectievelijk de lege verzameling en de universele verzameling .

Voor een eenvoudig voorbeeld, rekening houden met de set vervolgens de -algebra wordt gegenereerd door de enkele subgroep is door een misbruik van notatie , als een verzameling van deelverzamelingen bevat slechts één element, kan een te schrijven in plaats van als duidelijk is dat is een subset van ; in het vorige voorbeeld in plaats van inderdaad, is het ook heel gewoon om te betekenen .

Er zijn veel families van subsets die bruikbare -algebra's genereren. Enkele hiervan worden hier gepresenteerd.

-algebra gegenereerd door een functie

Als het een functie is van een verzameling naar een verzameling en een -algebra is van deelverzamelingen van, dan is de -algebra gegenereerd door de functie die wordt aangeduid met de verzameling van alle inverse afbeeldingen van de verzamelingen in dat wil zeggen,

Een functie van een verzameling naar een verzameling is meetbaar met betrekking tot een -algebra van deelverzamelingen van als en slechts als is een deelverzameling van

Een veel voorkomende situatie, en standaard begrepen als niet expliciet gespecificeerd, is wanneer is een metrische of topologische ruimte en is de verzameling Borel-sets op

Als een functie van tot dan is, wordt gegenereerd door de familie van subsets die inverse afbeeldingen zijn van intervallen/rechthoeken in :

Een nuttige eigenschap is de volgende. Neem aan dat het een meetbare kaart is van tot en een meetbare kaart is van tot. Als er een meetbare kaart van tot bestaat , zodat voor alle dan If eindig of aftelbaar oneindig is of, meer in het algemeen, een standaard Borel-ruimte is (bijvoorbeeld een scheidbare volledige metrische ruimte met de bijbehorende Borel-verzamelingen), dan is het omgekeerde ook waar. Voorbeelden van standaard Borel-ruimten zijn met zijn Borel-verzamelingen en met de hieronder beschreven cilinder -algebra.

Borel en Lebesgue -algebra

Een belangrijk voorbeeld is de Borel-algebra over elke topologische ruimte : de -algebra gegenereerd door de open verzamelingen (of, equivalent, door de gesloten verzamelingen ). Merk op dat deze -algebra in het algemeen niet de hele machtsverzameling is. Voor een niet-triviaal voorbeeld dat geen Borel-set is, zie de Vitali-set of Non-Borel-sets .

Op de Euclidische ruimte is een andere -algebra van belang: die van alle Lebesgue meetbare verzamelingen . Deze -algebra bevat meer verzamelingen dan de Borel -algebra en heeft de voorkeur in de integratietheorie , omdat het een volledige maatruimte geeft .

Product -algebra

Laat en zijn twee meetbare ruimten. De -algebra voor de overeenkomstige productruimte wordt het product -algebra genoemd en wordt gedefinieerd door

Merk op dat dit een -systeem is.

De Borel -algebra voor wordt gegenereerd door half-oneindige rechthoeken en door eindige rechthoeken. Bijvoorbeeld,

Voor elk van deze twee voorbeelden is de genererende familie een -systeem .

-algebra gegenereerd door cilindersets

Veronderstellen

is een set van reële waarde functies op . Laten we de Borel-subsets van Voor elk aanduiden en een cilinder-subset van is een eindig beperkte verzameling gedefinieerd als

voor elk

is een -systeem dat een -algebra genereert Dan is de familie van deelverzamelingen
is een algebra die de cilinder -algebra genereert voor Deze -algebra is een subalgebra van de Borel -algebra bepaald door de
producttopologie van beperkt tot

Een belangrijk speciaal geval is wanneer de verzameling natuurlijke getallen is en een reeks rijen met reële waarde. In dit geval is het voldoende om de cilindersets te beschouwen

waarvoor
is een niet-afnemende reeks van -algebra's.

-algebra gegenereerd door willekeurige variabele of vector

Stel dat is een

kansruimte . Als meetbaar is ten opzichte van de Borel -algebra e dan wordt dit een willekeurige variabele ( ) of willekeurige vector ( ) genoemd. De -algebra gegenereerd door is

-algebra gegenereerd door een stochastisch proces

Stel dat is een

kansruimte en is de verzameling van functies met reële waarde op . Als meetbaar is ten opzichte van de cilinder -algebra (zie hierboven) want dan wordt een stochastisch proces of willekeurig proces genoemd . De -algebra gegenereerd door is
de -algebra gegenereerd door de inverse afbeeldingen van cilindersets.

Zie ook

Referenties

Externe links

Opiniones de nuestros usuarios

Richard Dijk

Het is lang geleden dat ik een artikel over -algebra_ op zo'n didactische manier geschreven heb gezien. Ik vind het leuk

Edwin Koopman

Mijn vader daagde me uit mijn huiswerk te maken zonder Wikipedia te gebruiken, ik zei hem dat ik het kon doen door op veel andere sites te zoeken. Gelukkig voor mij vond ik deze website en dit artikel over -algebra hielp me mijn huiswerk te voltooien. Ik kwam bijna in de verleiding om naar Wikipedia te gaan, want ik kon niets vinden over -algebra, maar gelukkig vond ik het hier, want toen keek mijn vader in mijn browsegeschiedenis om te zien waar ik was geweest. Kun je je voorstellen als ik in Wikipedia kom? Gelukkig vond ik deze website en het artikel over -algebra hier. Daarom geef ik jullie mijn vijf sterren

Marga Groot

Dit bericht over -algebra heeft me een weddenschap gewonnen, wat minder om het een goede score te laten.