0.999...



Alle kennis die de mens in de loop der eeuwen over 0.999... heeft vergaard, is nu op het internet beschikbaar, en wij hebben die voor u op een zo toegankelijk mogelijke manier gebundeld en geordend. Wij willen dat u snel en efficiënt toegang krijgt tot alles wat u over 0.999... wilt weten; dat uw ervaring plezierig is en dat u het gevoel hebt dat u echt de informatie over 0.999... hebt gevonden waarnaar u op zoek was.

Om onze doelstellingen te bereiken hebben wij ons niet alleen ingespannen om de meest actuele, begrijpelijke en waarheidsgetrouwe informatie over 0.999... te verkrijgen, maar wij hebben er ook voor gezorgd dat het ontwerp, de leesbaarheid, de laadsnelheid en de bruikbaarheid van de pagina zo aangenaam mogelijk zijn, zodat u zich kunt concentreren op het wezenlijke, het kennen van alle beschikbare gegevens en informatie over 0.999..., zonder dat u zich zorgen hoeft te maken over iets anders, wij hebben het al voor u geregeld. Wij hopen dat wij ons doel hebben bereikt en dat u de informatie heeft gevonden die u zocht over 0.999.... We heten u dus van harte welkom en moedigen u aan om te blijven genieten van de ervaring van het gebruik van scientianl.com .

In wiskunde , 0,999 ... (ook geschreven als 0. 9 , in het herhalen decimale notatie ) staat voor de repeterende breuk bestaat uit een oneindige reeks 9s na de komma . Deze herhalende decimaal vertegenwoordigt het kleinste getal niet minder dan elk decimaal getal in de reeks (0,9, 0,99, 0,999, ...). Dit getal is gelijk aan 1. Met andere woorden, "0.999..." en "1" vertegenwoordigen hetzelfde getal. Er zijn veel manieren om deze gelijkheid aan te tonen, van intuïtieve argumenten tot wiskundig rigoureuze bewijzen . De gebruikte techniek hangt af van de doelgroep, achtergrondaannames, historische context en voorkeursontwikkeling van de reële getallen , het systeem waarbinnen 0,999... gewoonlijk wordt gedefinieerd. (In andere systemen kan 0.999... dezelfde betekenis, een andere definitie of ongedefinieerd zijn.)

Meer in het algemeen heeft elke niet-nul eindigende decimaal twee gelijke representaties (bijvoorbeeld 8.32 en 8.31999...), wat een eigenschap is van alle positionele numerieke systeemrepresentaties , ongeacht het grondtal . De utilitaire voorkeur voor de eindigende decimale representatie draagt bij aan de misvatting dat dit de enige representatie is. Om deze en andere redenen - zoals rigoureuze bewijzen die vertrouwen op niet-elementaire technieken, eigenschappen of disciplines - kunnen sommige mensen de gelijkheid voldoende contra-intuïtief vinden dat ze deze in twijfel trekken of verwerpen. Dit is het onderwerp geweest van verschillende onderzoeken in het wiskundeonderwijs .

Elementair bewijs

De Archimedische eigenschap : elk punt x voor de finishlijn ligt tussen twee van de punten (inclusief).

Er is een elementair bewijs van de vergelijking 0.999... = 1 , die alleen de wiskundige hulpmiddelen gebruikt voor het vergelijken en optellen van (eindige) decimale getallen , zonder enige verwijzing naar meer geavanceerde onderwerpen zoals reeksen , limieten , formele constructie van reële getallen , enz. Het bewijs, een oefening van Stillwell (1994 , p. 42), is een directe formalisering van het intuïtieve feit dat, als men 0,9, 0,99, 0,999, enz. op de getallenlijn trekt, er geen ruimte meer is voor een getal tussen hen en 1 plaatsen. De betekenis van de notatie 0,999... is het minste punt op de getallenlijn dat rechts ligt van alle getallen 0,9, 0,99, 0,999, enz. Omdat er uiteindelijk geen ruimte is tussen 1 en deze getallen, het punt 1 moet dit minste punt zijn, en dus 0.999... = 1 .

Intuïtieve uitleg

Als men 0,9, 0,99, 0,999, enz. op de getallenlijn plaatst, ziet men onmiddellijk dat al deze punten links van 1 liggen en dat ze steeds dichter bij 1 komen.

Om precies te zijn, de afstand van 0,9 tot 1 is 0,1 = 1/10 , de afstand van 0,99 tot 1 is 0,01 = 1/10 2 , enzovoort. De afstand tot 1 vanaf het n de punt (die met n 9s achter de komma) is 1/10 n .

Daarom, als 1 niet het kleinste getal groter dan 0,9, 0,99, 0,999, enz. was, dan zou er een punt op de getallenlijn zijn dat tussen 1 en al deze punten ligt. Dit punt zou op een positieve afstand van 1 liggen die kleiner is dan 1/10 n voor elk geheel getal n . In de standaard getalsystemen (de rationale getallen en de reële getallen ) is er geen positief getal dat kleiner is dan 1/10 n voor alle n . Dit is (één versie van) de Archimedische eigenschap , waarvan kan worden bewezen dat deze geldt in het systeem van rationale getallen. Daarom is 1 het kleinste getal dat groter is dan alle 0,9, 0,99, 0,999, enz., en dus 1 = 0,999... .

Discussie over volledigheid

Een deel van wat dit argument laat zien, is dat er een minste bovengrens is van de rij 0,9, 0,99, 0,999, enz.: een kleinste getal dat groter is dan alle termen van de rij. Een van de axioma's van het reële getalsysteem is het volledigheidsaxioma , dat stelt dat elke begrensde rij een minste bovengrens heeft. Deze kleinste bovengrens is een manier om oneindige decimale uitbreidingen te definiëren: het reële getal dat wordt weergegeven door een oneindig decimaal is de kleinste bovengrens van zijn eindige afknottingen. Het argument hier hoeft niet volledig te zijn om geldig te zijn, omdat het laat zien dat deze bepaalde reeks rationale getallen in feite een minste bovengrens heeft, en dat deze minste bovengrens gelijk is aan één.

Strenge bewijs

De vorige uitleg is geen bewijs, omdat men de relatie tussen een getal en zijn representatie als een punt op de getallenlijn niet goed kan definiëren. Voor de nauwkeurigheid van het bewijs wordt het getal 0.999...9 , met n negens achter de komma, aangeduid met 0.(9) n . Dus 0.(9) 1 = 0.9 , 0.(9) 2 = 0.99 , 0.(9) 3 = 0.999 , enzovoort. Aangezien 1/10 n = 0.0...01 , met n cijfers achter de komma, impliceert de optelregel voor decimale getallen

en

voor elk positief geheel getal n .

Men moet aantonen dat 1 het kleinste getal is dat niet minder is dan alle 0.(9) n . Hiervoor volstaat het te bewijzen dat, als een getal x niet groter is dan 1 en niet kleiner dan alle 0.(9) n , dan x = 1 . Dus laat x zodanig dat

voor elk positief geheel getal n . Daarom,

wat, met behulp van elementaire rekenkunde en de eerste gelijkheid die hierboven is vastgesteld, vereenvoudigt tot

Dit houdt in dat het verschil tussen 1 en x kleiner is dan de inverse van elk positief geheel getal. Dit verschil moet dus nul zijn, en dus x = 1 ; dat is

Dit bewijs is gebaseerd op het feit dat nul het enige niet-negatieve getal is dat kleiner is dan alle inverses van gehele getallen, of equivalent dat er geen getal is dat groter is dan elk geheel getal. Dit is de Archimedische eigenschap , die wordt geverifieerd voor rationale getallen en reële getallen . Reële getallen kunnen worden vergroot tot getalsystemen , zoals hyperreële getallen , met oneindig kleine getallen ( ininfinitions ) en oneindig grote getallen ( oneindige getallen ). Bij het gebruik van dergelijke systemen wordt de notatie 0.999... over het algemeen niet gebruikt, omdat er geen kleinste getal is dat niet minder is dan alle 0.(9) n . (Dit wordt geïmpliceerd door het feit dat 0.(9) n x < 1 impliceert 0.(9) n 1 2 x 1 < x < 1 ).

Algebraïsche argumenten

De kwestie van te vereenvoudigde illustraties van de gelijkheid is een onderwerp van pedagogische discussie en kritiek. Byers (2007 , p. 39) bespreekt het argument dat men op de lagere school geleerd heeft dat 1 3 = 0,333... , dus alle essentiële subtiliteiten negerend, deze identiteit "vermenigvuldigen" met 3 geeft 1=0,999.. . . Hij zegt verder dat dit argument niet overtuigend is, vanwege een onopgeloste dubbelzinnigheid over de betekenis van het isgelijkteken ; een student zou kunnen denken: "Het betekent zeker niet dat het getal 1 identiek is aan dat wat wordt bedoeld met de notatie 0,999... ." De meeste niet-gegradueerde wiskunde-majors die Byers tegenkomt, zijn van mening dat, hoewel 0,999... op basis van dit argument "zeer dicht" bij 1 ligt, sommigen zelfs zeggen dat het "oneindig dichtbij" is, ze niet klaar zijn om te zeggen dat het gelijk is aan to 1. Richman (1999) bespreekt hoe "dit argument zijn kracht ontleent aan het feit dat de meeste mensen zijn geïndoctrineerd om de eerste vergelijking te accepteren zonder na te denken", maar suggereert ook dat het argument sceptici ertoe kan brengen deze veronderstelling in twijfel te trekken.

Byers voert ook het volgende argument aan. Laten

Studenten die het eerste argument niet accepteerden, accepteren soms het tweede argument, maar hebben volgens Byers de dubbelzinnigheid nog steeds niet opgelost en begrijpen daarom de weergave voor oneindige decimalen niet. Peressini & Peressini (2007) , die hetzelfde argument presenteren, stellen ook dat het de gelijkheid niet verklaart, wat aangeeft dat een dergelijke verklaring waarschijnlijk concepten van oneindigheid en volledigheid zou omvatten . Baldwin & Norton (2012) , die Katz & Katz (2010a) citeren , concluderen ook dat de behandeling van de identiteit op basis van dergelijke argumenten, zonder het formele concept van een limiet, voorbarig is.

Hetzelfde argument wordt ook gegeven door Richman (1999) , die merkt op dat sceptici kunnen afvragen of x is opzegbare  - dat wil zeggen of het zinvol is om af te trekken x van beide kanten.

Analytische bewijzen

Aangezien de vraag van 0,999... geen invloed heeft op de formele ontwikkeling van de wiskunde, kan deze worden uitgesteld totdat men de standaardstellingen van echte analyse bewijst . Een vereiste is om reële getallen te karakteriseren die in decimale notatie kunnen worden geschreven, bestaande uit een optioneel teken, een eindige reeks van een of meer cijfers die een geheel getal vormen, een decimaalteken en een reeks cijfers die een fractioneel deel vormen. Om 0,999... te bespreken, kan het gehele deel worden samengevat als b 0 en kan men negatieven verwaarlozen, dus een decimale uitbreiding heeft de vorm

Het breukdeel is, in tegenstelling tot het gehele deel, niet beperkt tot eindig veel cijfers. Dit is een positionele notatie , dus bijvoorbeeld het cijfer 5 in 500 draagt tien keer zoveel bij als de 5 in 50, en de 5 in 0,05 draagt een tiende zoveel bij als de 5 in 0,5.

Oneindige reeksen en reeksen

Een veel voorkomende ontwikkeling van decimale uitbreidingen is om ze te definiëren als sommen van oneindige reeksen . In het algemeen:

Voor 0,999... kan men de convergentiestelling betreffende meetkundige reeksen toepassen :

Als dan

Aangezien 0,999... zo'n som is met a = 9 en gemeenschappelijke verhouding r = 1 10 , maakt de stelling korte metten met de vraag:

Dit bewijs verschijnt al in 1770 in Leonhard Euler 's Elements of Algebra .

Limieten: Het eenheidsinterval, inclusief de base-4 breukreeks (.3, .33, .333, ...) convergerend naar 1.

De som van een meetkundige reeks is zelf een resultaat dat nog ouder is dan Euler. Een typische 18e-eeuwse afleiding maakte gebruik van een term-voor-term manipulatie vergelijkbaar met het hierboven gegeven algebraïsche bewijs , en pas in 1811 gebruikt Bonnycastle's leerboek An Introduction to Algebra een dergelijk argument voor geometrische reeksen om dezelfde manoeuvre op 0,999 te rechtvaardigen. Een 19e-eeuwse reactie tegen dergelijke liberale sommatiemethoden resulteerde in de definitie die vandaag nog steeds domineert: de som van een reeks wordt gedefinieerd als de limiet van de reeks van zijn partiële sommen. Een overeenkomstig bewijs van de stelling berekent expliciet die reeks; het kan worden gevonden in elke op bewijzen gebaseerde inleiding tot calculus of analyse.

Een rij ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) heeft een limiet x als de afstand | x    x n | wordt willekeurig klein naarmate n toeneemt. De bewering dat 0,999... = 1 zelf kan worden geïnterpreteerd en bewezen als een limiet:

De eerste twee gelijkheden kunnen worden geïnterpreteerd als steno-symbolendefinities. De overige gelijkheden kunnen worden bewezen. De laatste stap, dat 1 10 n 0 als n , wordt vaak gerechtvaardigd door de Archimedische eigenschap van de reële getallen. Deze op limieten gebaseerde houding ten opzichte van 0,999... wordt vaak in meer suggestieve maar minder precieze bewoordingen gesteld. Het leerboek The University Arithmetic uit 1846 legt bijvoorbeeld uit: ".999 +, ging door tot oneindig = 1, omdat elke annexatie van een 9 de waarde dichter bij 1 brengt"; de 1895 Arithmetic for Schools zegt: "wanneer een groot aantal 9s wordt genomen, wordt het verschil tussen 1 en .99999... onvoorstelbaar klein". Dergelijke heuristieken worden door studenten vaak verkeerd geïnterpreteerd alsof ze impliceren dat 0,999... zelf kleiner is dan 1.

Geneste intervallen en kleinste bovengrenzen

De bovenstaande reeksdefinitie is een eenvoudige manier om het reële getal te definiëren dat wordt genoemd door een decimale uitbreiding. Een complementaire benadering is afgestemd op het tegenovergestelde proces: definieer voor een bepaald reëel getal de decimale uitbreiding(en) om het te noemen.

Als bekend is dat een reëel getal x in het gesloten interval [0, 10] ligt (dat wil zeggen, het is groter dan of gelijk aan 0 en kleiner dan of gelijk aan 10), kan men zich voorstellen dat het interval in tien stukken wordt verdeeld die alleen overlappen op hun eindpunten: [0, 1], [1, 2], [2, 3], enzovoort tot [9, 10]. Het getal x moet bij een van deze horen; als het bij [2, 3] hoort, dan noteert men het cijfer "2" en verdeelt dat interval in [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Doorgaan met dit proces levert een oneindige reeks geneste intervallen op , gelabeld door een oneindige reeks cijfers b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , ..., en men schrijft

In dit formalisme weerspiegelen de identiteiten 1 = 0.999... en 1 = 1.000... respectievelijk het feit dat 1 in zowel [0, 1] als [1, 2] ligt, dus men kan een van beide subintervallen kiezen bij het vinden zijn cijfers. Om ervoor te zorgen dat deze notatie het "="-teken niet misbruikt, heeft men een manier nodig om voor elk decimaalteken een uniek reëel getal te reconstrueren. Dit kan met limieten, maar andere constructies gaan verder met het ordeningsthema.

Een eenvoudige keuze is de stelling van geneste intervallen , die garandeert dat gegeven een reeks geneste, gesloten intervallen waarvan de lengtes willekeurig klein worden, de intervallen precies één reëel getal in hun snijpunt bevatten . Dus b 0 . b 1 b 2 b 3 ... wordt gedefinieerd als het unieke nummer dat binnen alle intervallen [ b 0 , b 0 + 1], [ b 0 . b 1 , b 0 . b 1 + 0.1], enzovoort. 0,999... is dan het unieke reële getal dat ligt in alle intervallen [0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1] en [0,99...9, 1] voor elke eindige reeks van 9en. Aangezien 1 een element is van elk van deze intervallen, is 0,999... = 1.

De stelling van geneste intervallen is meestal gebaseerd op een meer fundamenteel kenmerk van de reële getallen: het bestaan van de minste bovengrenzen of suprema . Om deze objecten direct te exploiteren, kan men b 0 definiëren . b 1 b 2 b 3 ... om de kleinste bovengrens te zijn van de verzameling benaderingen { b 0 , b 0 . b 1 , b 0 . b 1 b 2 , ...}. Men kan dan aantonen dat deze definitie (of de definitie van geneste intervallen) consistent is met de onderverdelingsprocedure, wat weer 0,999... = 1 impliceert. Tom Apostol besluit,

Het feit dat een reëel getal twee verschillende decimale representaties kan hebben, is slechts een weerspiegeling van het feit dat twee verschillende sets reële getallen hetzelfde supremum kunnen hebben.

Bewijzen van de constructie van de reële getallen

Sommige benaderingen definiëren expliciet reële getallen als bepaalde structuren die op de rationale getallen zijn gebouwd , met behulp van axiomatische verzamelingenleer . De natuurlijke getallen   0, 1, 2, 3, enzovoort beginnen met 0 en gaan omhoog, zodat elk getal een opvolger heeft. Men kan de natuurlijke getallen uitbreiden met hun negatieven om alle gehele getallen te geven , en om verder uit te breiden tot verhoudingen, waardoor de rationale getallen worden verkregen . Deze getalsystemen gaan gepaard met de rekenkunde van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Op een meer subtiele manier bevatten ze ordening , zodat het ene getal met het andere kan worden vergeleken en kleiner dan, groter dan of gelijk aan een ander getal kan worden gevonden.

De stap van rationals naar reals is een grote uitbreiding. Er zijn minstens twee populaire manieren om deze stap te bereiken, beide gepubliceerd in 1872: Dedekind-cuts en Cauchy-sequenties . Bewijzen dat 0,999... = 1 die deze constructies rechtstreeks gebruiken, worden niet gevonden in leerboeken over echte analyse, waar de moderne trend van de laatste decennia is geweest om een axiomatische analyse te gebruiken. Zelfs wanneer een constructie wordt aangeboden, wordt deze meestal toegepast om de axioma's van de reële getallen te bewijzen, die vervolgens de bovenstaande bewijzen ondersteunen. Verschillende auteurs geven echter uiting aan het idee dat beginnen met een constructie logischer is en dat de resulterende bewijzen meer op zichzelf staan.

Dedekind bezuinigingen

In de Dedekind- benadering wordt elk reëel getal x gedefinieerd als de oneindige verzameling van alle rationale getallen kleiner dan x . In het bijzonder is het reële getal 1 de verzameling van alle rationale getallen die kleiner zijn dan 1. Elke positieve decimale expansie bepaalt gemakkelijk een Dedekind-snede: de verzameling rationale getallen die kleiner is dan een bepaald stadium van de expansie. Dus het reële getal 0,999... is de verzameling rationale getallen r zodat r < 0, of r < 0,9, of r < 0,99, of r kleiner is dan een ander getal van de vorm

Elk element van 0,999... is kleiner dan 1, dus het is een element van het reële getal 1. Omgekeerd zijn alle elementen van 1 rationale getallen die kunnen worden geschreven als

met b > 0 en b > a . Dit houdt in

en daarom

en sindsdien

volgens de bovenstaande definitie is elk element van 1 ook een element van 0,999..., en, gecombineerd met het bewijs hierboven dat elk element van 0,999... ook een element van 1 is, bevatten de verzamelingen 0,999... en 1 dezelfde rationale getallen, en zijn daarom dezelfde verzameling, dat wil zeggen 0,999... = 1.

De definitie van reële getallen als Dedekind-bezuinigingen werd voor het eerst gepubliceerd door Richard Dedekind in 1872. De bovenstaande benadering voor het toewijzen van een reëel getal aan elke decimale uitbreiding is te danken aan een verklarend artikel met de titel "Is 0,999 ... = 1" door Fred Richman in Mathematics Magazine , dat is gericht op docenten van collegiale wiskunde, met name op junior/senior niveau, en hun studenten. Richman merkt op dat het nemen van Dedekind-verlagingen in een dichte subset van de rationale getallen dezelfde resultaten oplevert; in het bijzonder gebruikt hij decimale breuken , waarvoor het bewijs directer is. Hij merkt ook op dat de definities doorgaans toestaan dat { x : x < 1 } een snit is, maar niet { x : x 1 } (of vice versa) 1. [...] We zien dus dat in de traditionele definitie van de reële getallen de vergelijking 0,9* = 1 aan het begin is ingebouwd." Een verdere aanpassing van de procedure leidt tot een andere structuur waar de twee niet gelijk zijn. Hoewel het consistent vele gemeenschappelijke regels decimale rekenkunde niet langer houden, bijvoorbeeld de fractie 1 / 3 heeft geen verklaring; zie " Alternatieve nummerstelsels " hieronder.

Cauchy-reeksen

Een andere benadering is om een reëel getal te definiëren als de limiet van een Cauchy-reeks van rationale getallen . Deze constructie van de reële getallen gebruikt de ordening van rationale getallen minder direct. Eerst wordt de afstand tussen x en y gedefinieerd als de absolute waarde | x    y |, waarbij de absolute waarde | z | wordt gedefinieerd als het maximum van z en z , dus nooit negatief. Vervolgens worden de reële getallen gedefinieerd als de reeksen van rationale getallen die de Cauchy-reekseigenschap hebben met behulp van deze afstand. Dat wil zeggen, in de rij ( x 0 , x 1 , x 2 , ...), een afbeelding van natuurlijke getallen naar rationale getallen, voor elke positieve rationale is er een N zodanig dat | x m    x n |   voor alle m , n  >  N . (De afstand tussen termen wordt kleiner dan elke positieve rationale.)

Als ( x n ) en ( y n ) twee Cauchy-reeksen zijn, dan zijn ze gedefinieerd als gelijk aan reële getallen als de reeks ( x n    y n ) de limiet 0 heeft. Truncaties van het decimale getal b 0 . b 1 b 2 b 3 ... genereer een reeks rationale getallen die Cauchy is; dit wordt gebruikt om de werkelijke waarde van het getal te definiëren. Dus in dit formalisme is het de taak om aan te tonen dat de rij van rationale getallen

heeft de limiet 0. Gezien de n de term van de rij, voor n , moet daarom worden aangetoond dat

Deze limiet is duidelijk als men de definitie van limiet begrijpt . Dus weer 0,999... = 1.

De definitie van reële getallen als cauchyrij werd voor het eerst afzonderlijk door gepubliceerde Eduard Heine en Georg Cantor De bovenstaande benadering van de decimale uitbreidingen, waaronder het bewijs dat 0,999, ook in 1872. ... = 1, op de voet volgt Griffiths & Hilton's 1970 werk Een uitgebreide leerboek klassieke wiskunde: een hedendaagse interpretatie . Het boek is speciaal geschreven om een tweede blik te werpen op bekende concepten in een eigentijds licht.

Oneindige decimale weergave

Gewoonlijk worden in het wiskundeonderwijs van middelbare scholen de reële getallen geconstrueerd door een getal te definiëren met behulp van een geheel getal gevolgd door een radixpunt en een oneindige reeks die als een tekenreeks wordt uitgeschreven om het fractionele deel van een bepaald reëel getal weer te geven. In deze constructie is de verzameling van elke combinatie van een geheel getal en cijfers achter de komma (of radixpunt in systemen zonder grondtal 10) de verzameling reële getallen. Deze constructie kan rigoureus worden aangetoond om aan alle reële axioma 's te voldoen na het definiëren van een equivalentierelatie over de verzameling die 1 = eq 0,999 definieert ... slepende 9s-versie. Met deze constructie van de reële getallen kunnen alle bewijzen van de uitspraak "1 = 0,999..." worden beschouwd als impliciet de gelijkheid aannemen wanneer er bewerkingen worden uitgevoerd op de reële getallen.

Dichte orde

Een van de ideeën die het probleem kan oplossen, is de eis dat reële getallen dicht geordend zijn. Studenten nemen als vanzelfsprekend aan dat dit vroeger is, terwijl dit soort intuïtieve ordening beter als puur lexicografisch kan worden gedefinieerd.

"... de volgorde van de reële getallen wordt herkend als een dichte volgorde. Afhankelijk van de context kunnen studenten deze eigenschap echter verzoenen met het bestaan van getallen net voor of na een bepaald getal (0,999... wordt dus vaak gezien als de voorloper van 1)."

Dichte volgorde vereist dat er een derde reële waarde strikt tussen en is , maar die is er niet: we kunnen geen enkel cijfer in een van de twee veranderen om zo'n getal te verkrijgen. Als en zijn om reële getallen weer te geven, moeten ze gelijk zijn. Dichte ordening houdt in dat als er geen nieuw element strikt tussen twee elementen van de verzameling is, de twee elementen als gelijk moeten worden beschouwd.

generalisaties

Het resultaat dat 0,999... = 1 generaliseert gemakkelijk op twee manieren. Ten eerste heeft elk getal dat niet nul is met een eindige decimale notatie (equivalent, eindeloze navolgende nullen) een tegenhanger met achterliggende negens. Bijvoorbeeld, 0,24999... is gelijk aan 0,25, precies zoals in het bijzondere geval. Deze getallen zijn precies de decimale breuken, en ze zijn compact .

Ten tweede geldt voor elke radix of basis een vergelijkbare stelling . Bijvoorbeeld, in grondtal 2 (het binaire getalsysteem ) 0.111... is gelijk aan 1, en in grondtal 3 (het ternaire getalsysteem ) 0.222... is gelijk aan 1. Over het algemeen heeft elke eindigende uitdrukking met grondtal b een tegenhanger met herhaalde volging cijfers gelijk aan b 1. Leerboeken voor echte analyse zullen waarschijnlijk het voorbeeld van 0,999 overslaan... en een of beide van deze generalisaties vanaf het begin presenteren.

Alternatieve representaties van 1 komen ook voor in niet-gehele basen. Bijvoorbeeld, in de gulden snede basis zijn de twee standaard representaties 1.000... en 0.101010..., en er zijn oneindig veel meer representaties die aangrenzende enen bevatten. Over het algemeen zijn er voor bijna alle q tussen 1 en 2 ontelbaar veel grondtal- q uitbreidingen van 1. Aan de andere kant zijn er nog steeds ontelbaar veel q (inclusief alle natuurlijke getallen groter dan 1) waarvoor er slechts één grondtal- q uitbreiding van 1, anders dan de triviale 1.000.... Dit resultaat werd voor het eerst verkregen door Paul Erds , Miklos Horváth en István Joó rond 1990. In 1998 bepaalden Vilmos Komornik en Paola Loreti de kleinste dergelijke basis, de constante Komornik-Loreti q = 1.787231650.... In deze basis, 1 = 0.110100110010111010010110011010011...; de cijfers worden gegeven door de Thue-Morse-reeks , die zich niet herhaalt.

Een verdergaande generalisatie richt zich op de meest algemene positionele numerieke systemen . Ook zij hebben meerdere vertegenwoordigingen, en in zekere zin zijn de moeilijkheden nog erger. Bijvoorbeeld:

Onmogelijkheid van unieke representatie

Dat al deze verschillende getalsystemen last hebben van meerdere representaties voor sommige reële getallen kan worden toegeschreven aan een fundamenteel verschil tussen de reële getallen als een geordende verzameling en verzamelingen van oneindige reeksen symbolen, lexicografisch geordend . Inderdaad, de volgende twee eigenschappen verklaren de moeilijkheid:

  • Als een interval van de reële getallen wordt verdeeld in twee niet-lege delen L , R , zodat elk element van L (strikt) kleiner is dan elk element van R , dan bevat L ofwel een grootste element of bevat R een kleinste element, maar niet allebei.
  • De verzameling oneindige reeksen symbolen uit een eindig "alfabet", lexicografisch geordend, kan worden verdeeld in twee niet-lege delen L , R , zodat elk element van L kleiner is dan elk element van R , terwijl L een grootste element en R bevat een kleinste element. Het is inderdaad voldoende om twee eindige prefixen (initiële substrings) p 1 , p 2 van elementen uit de verzameling te nemen zodat ze alleen verschillen in hun uiteindelijke symbool, voor welk symbool ze opeenvolgende waarden hebben, en voor L de verzameling van alle strings te nemen in de verzameling waarvan het corresponderende voorvoegsel maximaal p 1 is , en voor R de rest, de strings in de verzameling waarvan het corresponderende voorvoegsel ten minste p 2 is . Dan heeft L een grootste element, beginnend met p 1 en kiezend voor het grootste beschikbare symbool in alle volgende posities, terwijl R een kleinste element heeft dat verkregen wordt door p 2 te volgen door het kleinste symbool in alle posities.

Het eerste punt volgt uit de basiseigenschappen van de reële getallen: L heeft een supremum en R heeft een infimum , die gemakkelijk als gelijk kunnen worden gezien; omdat het een reëel getal is, ligt het ofwel in R of in L , maar niet in beide, aangezien L en R disjunct zouden moeten zijn . Het tweede punt generaliseert het 0.999.../1.000... paar verkregen voor p 1  = "0", p 2  = "1". In feite hoeft men niet voor alle posities hetzelfde alfabet te gebruiken (zodat bijvoorbeeld gemengde radix- systemen kunnen worden opgenomen) of de volledige verzameling van mogelijke strings te overwegen; de enige belangrijke punten zijn dat op elke positie een eindige set symbolen (die zelfs afhankelijk kunnen zijn van de vorige symbolen) kan worden gekozen (dit is nodig om maximale en minimale keuzes te garanderen), en dat het maken van een geldige keuze voor elke positie moet resulteren in een geldige oneindige reeks (dus men mag geen "9" in elke positie toestaan terwijl een oneindige opeenvolging van "9"-en wordt verboden). Onder deze aannames laat het bovenstaande argument zien dat een volgordebehoudende kaart van de verzameling strings naar een interval van de reële getallen geen bijectie kan zijn : ofwel komen sommige getallen niet overeen met een string, of sommige komen overeen met meer dan één string .

Marko Petkovek heeft bewezen dat voor elk positioneel systeem dat alle reële getallen noemt, de verzameling reële getallen met meerdere representaties altijd compact is. Hij noemt het bewijs 'een leerzame oefening in elementaire puntverzamelingtopologie '; het omvat het bekijken van sets van positionele waarden als stenen ruimten en opmerken dat hun werkelijke representaties worden gegeven door continue functies .

Toepassingen

Een toepassing van 0,999... als representatie van 1 komt voor in de elementaire getaltheorie . In 1802 publiceerde H. Goodwin een observatie over het voorkomen van 9s in de zich herhalende decimale representaties van breuken waarvan de noemers bepaalde priemgetallen zijn . Voorbeelden zijn:

  • 1 7 = 0. 142857 en 142 + 857 = 999.
  • 1 73 = 0. 01369863 en 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy bewees in 1836 een algemeen resultaat over dergelijke breuken, dat nu de stelling van Midy wordt genoemd . De publicatie was onduidelijk en het is onduidelijk of zijn bewijs rechtstreeks betrekking had op 0,999..., maar ten minste één modern bewijs van WG Leavitt wel. Als kan worden bewezen dat als een decimaalteken van de vorm 0. b 1 b 2 b 3 ... een positief geheel getal is, dan moet het 0,999... zijn, wat dan de bron is van de 9s in de stelling. Onderzoeken in deze richting kunnen concepten als grootste gemene delers , modulaire rekenkunde , Fermat-priemgetallen , volgorde van groepselementen en kwadratische wederkerigheid motiveren .

Terugkerend naar echte analyse, speelt de base-3-analoog 0.222... = 1 een sleutelrol in een karakterisering van een van de eenvoudigste fractals , de middelste derde Cantor-set :

  • Een punt in het eenheidsinterval ligt in de Cantor-verzameling dan en slechts dan als het in ternair kan worden weergegeven met alleen de cijfers 0 en 2.

Het n e cijfer van de voorstelling geeft de positie van het punt in de n e fase van de constructie weer. Het punt 2 3 krijgt bijvoorbeeld de gebruikelijke weergave van 0,2 of 0,2000..., omdat het rechts van de eerste verwijdering en links van elke verwijdering daarna ligt. Het punt 1 3 wordt niet weergegeven als 0,1 maar als 0,0222..., aangezien het links van de eerste verwijdering en rechts van elke verwijdering daarna ligt.

Herhalende negens komen ook voor in weer een ander werk van Georg Cantor. Ze moeten in aanmerking worden genomen om een geldig bewijs te construeren, door zijn diagonaalargument uit 1891 toe te passen op decimale uitbreidingen, van de ontelbaarheid van het eenheidsinterval. Zo'n bewijs moet in staat zijn om bepaalde paren van reële getallen als verschillend te verklaren op basis van hun decimale uitbreidingen, dus men moet paren zoals 0.2 en 0.1999 vermijden... Een eenvoudige methode vertegenwoordigt alle getallen met niet-afsluitende uitbreidingen; de tegenovergestelde methode sluit het herhalen van negens uit. Een variant die mogelijk dichter bij het oorspronkelijke argument van Cantor ligt, gebruikt eigenlijk base 2, en door base-3-uitbreidingen om te zetten in base-2-uitbreidingen, kan men ook de ontelbaarheid van de Cantor-set bewijzen.

Scepsis in het onderwijs

Wiskundestudenten verwerpen vaak de gelijkheid van 0,999... en 1, om redenen die uiteenlopen van hun ongelijksoortige uiterlijk tot diepe twijfels over het limietconcept en onenigheid over de aard van oneindig kleine dingen . Er zijn veel gemeenschappelijke factoren die bijdragen aan de verwarring:

  • Studenten zijn vaak "mentaal toegewijd aan het idee dat een getal op één en slechts één manier kan worden weergegeven door een decimaal". Het zien van twee duidelijk verschillende decimalen die hetzelfde getal vertegenwoordigen, lijkt een paradox te zijn , die wordt versterkt door het verschijnen van het schijnbaar goed begrepen getal 1.
  • Sommige studenten interpreteren "0.999..." (of vergelijkbare notatie) als een grote maar eindige reeks van 9-en, mogelijk met een variabele, niet-gespecificeerde lengte. Als ze een oneindige reeks van negens accepteren, kunnen ze nog steeds een laatste 9 verwachten "op oneindig".
  • Intuïtie en dubbelzinnig onderwijs leiden ertoe dat studenten de limiet van een reeks zien als een soort oneindig proces in plaats van een vaste waarde, omdat een reeks zijn limiet niet hoeft te bereiken. Waar leerlingen het verschil tussen een reeks getallen en de limiet ervan accepteren, kunnen ze "0.999..." lezen als de reeks in plaats van de limiet.

Deze ideeën zijn verkeerd in de context van de standaard reële getallen, hoewel sommige geldig kunnen zijn in andere getalsystemen, ofwel uitgevonden voor hun algemene wiskundige bruikbaarheid of als leerzame tegenvoorbeelden om 0,999 beter te begrijpen...

Veel van deze verklaringen zijn gevonden door David Tall , die kenmerken van lesgeven en cognitie heeft bestudeerd die tot enkele van de misverstanden hebben geleid die hij bij zijn studenten is tegengekomen. Toen hij zijn studenten interviewde om vast te stellen waarom de overgrote meerderheid aanvankelijk de gelijkheid afwees, ontdekte hij dat "studenten 0,999 bleven bedenken... als een reeks getallen die steeds dichter bij 1 komt en geen vaste waarde, omdat 'je niet opgegeven hoeveel plaatsen er zijn' of 'het is de dichtstbijzijnde mogelijke decimaal onder 1 ' ".

Het elementaire argument van het vermenigvuldigen van 0,333... = 1 3 bij 3 kan onwillige studenten ervan overtuigen dat 0,999... = 1. Toch, wanneer ze worden geconfronteerd met het conflict tussen hun geloof in de eerste vergelijking en hun ongeloof in de tweede, ofwel beginnen de eerste vergelijking niet te geloven of gewoon gefrustreerd raken. Ook geavanceerdere methoden zijn niet onfeilbaar: studenten die volledig in staat zijn om rigoureuze definities toe te passen, kunnen nog steeds terugvallen op intuïtieve beelden wanneer ze worden verrast door een resultaat in geavanceerde wiskunde, waaronder 0.999.... Een echte analysestudent was bijvoorbeeld in staat om bewijs dat 0,333... = 1 3 met behulp van een supremumdefinitie , maar drong er toen op aan dat 0,999... < 1 gebaseerd was op haar eerdere begrip van staartdeling. Anderen zijn nog steeds in staat om te bewijzen dat 1 3 = 0,333..., maar wanneer ze geconfronteerd worden met het fractionele bewijs , staan ze erop dat "logica" de wiskundige berekeningen vervangt.

Joseph Mazur vertelt het verhaal van een verder briljante wiskundestudent van hem die "bijna alles wat ik in de klas zei, in twijfel trok, maar nooit zijn rekenmachine in twijfel trok", en die was gaan geloven dat negen cijfers alles zijn wat je nodig hebt om wiskunde te doen, inclusief het berekenen van het kwadraat wortel van 23. De student bleef ongemakkelijk met een beperkend argument dat 9,99... = 10, en noemde het een 'wild verbeeld oneindig groeiproces'.

Als onderdeel van Ed Dubinsky's APOS-theorie van wiskundig leren, stellen hij en zijn medewerkers (2005) voor dat studenten die 0.999... opvatten als een eindige, onbepaalde string met een oneindig kleine afstand van 1 "nog geen volledige procesconceptie hebben geconstrueerd van het oneindige decimaal". Andere studenten die een volledige procesconceptie van 0,999... hebben, kunnen dat proces misschien nog niet "inkapselen" in een "objectconceptie", zoals de objectconceptie die ze hebben van 1, en dus bekijken ze het proces 0,999... en het object 1 als onverenigbaar. Dubinsky et al. koppel dit mentale vermogen van inkapseling ook aan het zien van 1 3 als een op zichzelf staand getal en aan het omgaan met de verzameling natuurlijke getallen als geheel.

Cultureel fenomeen

Met de opkomst van internet zijn debatten over 0,999... gemeengoed geworden op nieuwsgroepen en message boards , waaronder veel die nominaal weinig met wiskunde te maken hebben. In de nieuwsgroep sci.math , wordt ruzie over 0,999... beschreven als een "populaire sport", en het is een van de vragen die worden beantwoord in de FAQ . De FAQ behandelt in het kort 1 3 , vermenigvuldiging met 10 en limieten, en verwijst ook naar Cauchy-reeksen.

Een editie uit 2003 van de algemene krantenkolom The Straight Dope bespreekt 0,999... via 1 3 en limieten, het zeggen van misvattingen,

De lagere primaat in ons verzet zich nog steeds en zegt: .999~ vertegenwoordigt dus niet echt een getal , maar een proces . Om een getal te vinden, moeten we het proces stoppen, waarna het .999~ = 1 ding uit elkaar valt. Onzin.

Een artikel in Slate meldt dat het concept van 0.999... "fel omstreden is op websites variërend van World of Warcraft- prikborden tot Ayn Rand- forums". In dezelfde geest bleek de vraag van 0,999... zo'n populair onderwerp in de eerste zeven jaar van de Battle.net- forums van Blizzard Entertainment dat het bedrijf op 1 april 2004 een "persbericht" uitgaf dat het 1 :

We zijn verheugd om het boek over dit onderwerp voor eens en voor altijd te sluiten. We zijn getuige geweest van het verdriet en de bezorgdheid over de vraag of .999~ wel of niet gelijk is aan 1, en we zijn er trots op dat het volgende bewijs het probleem voor onze klanten eindelijk en definitief aanpakt.

Er worden dan twee bewijzen aangeboden, gebaseerd op limieten en vermenigvuldiging met 10.

0.999... komt ook voor in wiskundige grappen , zoals:

Vraag: Hoeveel wiskundigen zijn er nodig om een gloeilamp in te schroeven

een: 0,999999....

In alternatieve nummersystemen

Hoewel de reële getallen een uiterst nuttig getalsysteem vormen , is de beslissing om de notatie "0.999..." te interpreteren als het benoemen van een reëel getal uiteindelijk een conventie, en Timothy Gowers stelt in Mathematics: A Very Short Introduction dat de resulterende identiteit 0.999. .. = 1 is ook een conventie:

Het is echter geenszins een willekeurige conventie, omdat het niet aannemen ervan iemand dwingt om vreemde nieuwe objecten uit te vinden of om enkele van de bekende rekenregels te verlaten.

Men kan andere nummerstelsels definiëren met andere regels of nieuwe objecten; in sommige van dergelijke getalsystemen zouden de bovenstaande bewijzen opnieuw moeten worden geïnterpreteerd en zou men kunnen ontdekken dat in een bepaald getalsysteem 0,999... en 1 mogelijk niet identiek zijn. Veel nummersystemen zijn echter uitbreidingen van het reële nummersysteem (in plaats van onafhankelijke alternatieven ervoor), dus 0,999... = 1 blijft gelden. Zelfs in dergelijke nummersystemen is het echter de moeite waard om alternatieve nummersystemen te onderzoeken, niet alleen op hoe 0,999... zich gedraagt (als inderdaad een getal uitgedrukt als "0,999..." zowel betekenisvol als ondubbelzinnig is), maar ook voor het gedrag van verwante verschijnselen. Als dergelijke verschijnselen verschillen van die in het reële getallenstelsel, dan moet ten minste één van de in het systeem ingebouwde aannames kapot gaan.

oneindig klein

Enkele bewijzen dat 0,999... = 1 berusten op de Archimedische eigenschap van de reële getallen: dat er geen oneindig kleine getallen zijn die niet nul zijn . In het bijzonder moet het verschil 1 0,999... kleiner zijn dan elk positief rationaal getal, dus het moet een oneindig klein getal zijn; maar aangezien de reële getallen geen oneindig kleine getallen bevatten, is het verschil daarom nul, en daarom zijn de twee waarden hetzelfde.

Er zijn echter wiskundig coherente geordende algebraïsche structuren , waaronder verschillende alternatieven voor de reële getallen, die niet-Archimedisch zijn. Niet-standaardanalyse biedt een getalsysteem met een volledige reeks oneindig kleine getallen (en hun inverse). AH Lightstone ontwikkelde een decimale uitbreiding voor hyperreële getallen in (0, 1) . Lightstone laat zien hoe u aan elk nummer een reeks cijfers kunt koppelen,

geïndexeerd door de hypernatuurlijke getallen. Hoewel hij 0,999... niet direct bespreekt, laat hij zien dat het reële getal 1 3 wordt weergegeven door 0,333...;...333... wat een gevolg is van het overdrachtsprincipe . Bijgevolg is het getal 0,999...;...999... = 1. Bij dit type decimale weergave vertegenwoordigt niet elke uitbreiding een getal. Met name "0.333...;...000..." en "0.999...;...000..." komen met geen enkel nummer overeen.

De standaarddefinitie van het aantal 0,999 ... is de limiet van de reeks 0,9, 0,99, 0,999, ... Een andere definitie omvat wat Terry Tao noemt ultralimit , dwz de equivalentieklasse [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] van deze reeks in de ultrapower-constructie , wat een getal is dat oneindig veel kleiner is dan 1. Meer in het algemeen voldoet het hyperreële getal u H =0.999...;...999000..., met als laatste cijfer 9 op oneindige hypernatuurlijke rang H , aan een strikte ongelijkheid u H < 1. Dienovereenkomstig volgde een alternatieve interpretatie voor "nul". door oneindig veel 9s" zou kunnen zijn

Al dergelijke interpretaties van "0.999..." liggen oneindig dicht bij 1. Ian Stewart karakteriseert deze interpretatie als een "volledig redelijke" manier om de intuïtie dat "er een klein beetje ontbreekt" van 1 op 0,999 rigoureus te rechtvaardigen.... met Katz & Katz zet Robert Ely ook vraagtekens bij de veronderstelling dat de ideeën van leerlingen over 0,999... < 1 onjuiste intuïties zijn over de reële getallen, en interpreteert hij ze eerder als niet-standaard intuïties die waardevol kunnen zijn bij het leren van calculus. Jose Benardete stelt in zijn boek Infinity: An essay in metaphysics dat sommige natuurlijke pre-mathematische intuïties niet kunnen worden uitgedrukt als men zich beperkt tot een al te restrictief getalsysteem:

De begrijpelijkheid van het continuüm blijkt - vele malen - te vereisen dat het domein van reële getallen wordt uitgebreid met oneindig kleine getallen. Dit vergrote domein kan het domein van continuümgetallen worden genoemd. Het zal nu duidelijk zijn dat .9999... niet gelijk is aan 1, maar er oneindig veel tekort komt. Ik denk dat .9999... inderdaad als een getal moet worden opgenomen ... maar niet als een reëel getal.

Hackenbush

Combinatorische speltheorie biedt ook alternatieve reals, met oneindige Blue-Red Hackenbush als een bijzonder relevant voorbeeld. In 1974 beschreef Elwyn Berlekamp een overeenkomst tussen Hackenbush-strings en binaire uitbreidingen van reële getallen, gemotiveerd door het idee van datacompressie . Bijvoorbeeld, de waarde van de Hackenbush snaar LRRLRLRL ... is 0.010101 2 ... =  1 / 3 . De waarde van LRLLL... (overeenkomend met 0.111... 2 ) is echter oneindig veel kleiner dan 1. Het verschil tussen de twee is het surrealistische getal 1 , waarbij het eerste oneindige rangtelwoord is ; het betreffende spel is LRRRR... of 0.000... 2 .

Dit geldt in feite voor de binaire uitbreidingen van veel rationale getallen, waarbij de waarden van de getallen gelijk zijn, maar de overeenkomstige binaire boompaden verschillend zijn. Bijvoorbeeld 0.10111... 2  = 0.11000... 2 , die beide gelijk zijn aan 3/4, maar de eerste weergave komt overeen met het binaire boompad LRLRLLL... terwijl de tweede overeenkomt met het andere pad LRLLRRR... .

Aftrekken opnieuw bekijken

Een andere manier waarop de bewijzen kunnen worden ondermijnd, is als 1 0,999... gewoon niet bestaat, omdat aftrekken niet altijd mogelijk is. Wiskundige structuren met een optelbewerking maar geen aftrekbewerking omvatten commutatieve semigroepen , commutatieve monoiden en semiringen . Richman beschouwt twee van dergelijke systemen, zo ontworpen dat 0,999... < 1.

Ten eerste definieert Richman een niet-negatief decimaal getal als een letterlijke decimale expansie. Hij definieert de lexicografische volgorde en een optelbewerking, waarbij hij opmerkt dat 0,999... < 1 eenvoudigweg omdat 0 < 1 in de enen-plaats, maar voor elke niet-beëindigende x , heeft men 0,999... +  x  = 1 +  x . Een eigenaardigheid van de decimale getallen is dus dat optelling niet altijd kan worden geannuleerd; een ander is dat geen decimaal getal komt overeen met 1 / 3 . Na het definiëren van vermenigvuldiging vormen de decimale getallen een positieve, totaal geordende, commutatieve halvering.

In het proces van het definiëren van vermenigvuldiging, definieert Richman ook een ander systeem dat hij "cut D " noemt , wat de verzameling Dedekind-cuts van decimale breuken is. Gewoonlijk leidt deze definitie tot de reële getallen, maar voor een decimale breuk d staat hij zowel de snede (,  d ) als de "hoofdsnede" (,  d ) toe. Het resultaat is dat de reële getallen "ongemakkelijk leven" samen met" de decimale breuken. Opnieuw 0.999... < 1. Er zijn geen positieve oneindig kleine getallen in snede D , maar er is "een soort negatief oneindig klein", 0 , die geen decimale expansie heeft. Hij concludeert dat 0.999.. . = 1 + 0 , terwijl de vergelijking "0.999... + x = 1" geen oplossing heeft.

p -adische nummers

Gevraagd naar 0,999..., geloven beginners vaak dat er een "laatste 9" moet zijn, waarbij ze geloven dat 1 0,999... een positief getal is dat ze schrijven als "0.000...1". Of dat nu wel of niet logisch is, het intuïtieve doel is duidelijk: een 1 toevoegen aan de laatste 9 in 0,999... zou alle 9's in nullen brengen en een 1 achterlaten op de plaats van de enen. Dit idee mislukt onder andere omdat er geen "laatste 9" is in 0,999.... Er is echter een systeem dat een oneindige reeks 9-en bevat, inclusief een laatste 9.

De p- adische getallen zijn een alternatief getalsysteem dat van belang is in de getaltheorie . Net als de reële getallen kunnen de p -adische getallen worden opgebouwd uit de rationale getallen via Cauchy-reeksen ; de constructie gebruikt een andere metriek waarin 0 dichter bij p , en veel dichter bij p n , ligt dan bij 1. De p -adische getallen vormen een veld voor priemgetal p en een ring voor andere p , inclusief 10. Dus rekenkundig kan worden uitgevoerd in de p -adics, en er zijn geen infinitesimalen.

In de 10-adische getallen lopen de analogen van decimale uitbreidingen naar links. De 10-adische uitbreiding ...999 heeft wel een laatste 9, en het heeft geen eerste 9. Men kan 1 toevoegen aan de plaats van de enen, en er blijven alleen 0s over na het uitvoeren: 1 + ...999 = ...000 = 0, en dus ...999 = -1. Een andere afleiding maakt gebruik van een meetkundige reeks. De oneindige reeks geïmpliceerd door "...999" convergeert niet in de reële getallen, maar convergeert in de 10-adics, en dus kan men de bekende formule hergebruiken:

(Vergelijk met de bovenstaande reeks .) Een derde afleiding werd uitgevonden door een zevende-klasser die twijfelde over het beperkende argument van haar leraar dat 0,999... = 1, maar werd geïnspireerd om het vermenigvuldig-met-10-bewijs hierboven in de tegenovergestelde richting te nemen : als x  = ...999 dan 10 x  = ...990, dus 10 x  =  x   9, dus x  = 1 weer.

Als laatste uitbreiding, aangezien 0,999... = 1 (in de reals) en ...999 = -1 (in de 10-adics), dan kan men door "blind vertrouwen en ongegeneerd jongleren met symbolen" de twee vergelijkingen optellen en kom uit op ...999.999... = 0. Deze vergelijking heeft geen zin als een 10-adische expansie of een gewone decimale expansie, maar het blijkt zinvol en waar te zijn in de dubbel oneindige decimale expansie van de 10 -adische solenoïde , met uiteindelijk herhalende linkeruiteinden om de echte getallen weer te geven en uiteindelijk herhalende rechteruiteinden om de 10-adische getallen weer te geven.

Ultrafinitisme

De filosofie van het ultrafinitisme verwerpt als betekenisloze concepten die te maken hebben met oneindige verzamelingen, zoals het idee dat de notatie zou kunnen staan voor een decimaal getal met een oneindige reeks van negens , evenals de optelling van oneindig veel getallen die overeenkomen met de positionele waarden van de decimale cijfers in die oneindige reeks. In deze benadering van wiskunde is alleen een bepaald (vast) aantal eindige decimale cijfers zinvol. In plaats van "gelijkheid" heeft men "bij benadering gelijkheid", wat gelijkheid is tot aan het aantal decimale cijfers dat men mag berekenen. Hoewel Katz en Katz beweren dat ultrafinitisme de studentenintuïtie kan vangen dat 0,999... minder dan 1 zou moeten zijn, genieten de ideeën van ultrafinitisme niet wijdverbreide acceptatie in de wiskundige gemeenschap, en de filosofie mist een algemeen aanvaarde formele wiskundige basis .

Gerelateerde Vragen

  • Zeno's paradoxen , in het bijzonder de paradox van de loper, doen denken aan de schijnbare paradox dat 0,999... en 1 gelijk zijn. De runner-paradox kan wiskundig worden gemodelleerd en vervolgens, zoals 0,999..., worden opgelost met behulp van een geometrische reeks. Het is echter niet duidelijk of deze wiskundige behandeling de onderliggende metafysische problemen aanpakt die Zeno aan het onderzoeken was.
  • Delen door nul komt voor in sommige populaire discussies van 0,999..., en het roept ook twist op. Hoewel de meeste auteurs ervoor kiezen om 0,999... te definiëren, laten bijna alle moderne behandelingen delen door nul ongedefinieerd, omdat er geen betekenis aan kan worden gegeven in de standaard reële getallen. Deling door nul wordt echter gedefinieerd in sommige andere systemen, zoals complexe analyse , waarbij het uitgebreide complexe vlak , dat wil zeggen de Riemann-bol , een " punt op oneindig " heeft. Hierbij is het zinvol om te bepalen 1 / 0 tot oneindig zijn; en in feite zijn de resultaten diepgaand en toepasbaar op veel problemen in techniek en natuurkunde. Sommige prominente wiskundigen pleitten voor een dergelijke definitie lang voordat een van beide getallenstelsels werd ontwikkeld.
  • Negatieve nul is een ander overbodig kenmerk van veel manieren om getallen te schrijven. In getalsystemen, zoals de reële getallen, waarbij "0" de additieve identiteit aangeeft en noch positief noch negatief is, is de gebruikelijke interpretatie van "0" dat het de additieve inverse van 0 moet aanduiden, wat 0 = 0 dwingt Desalniettemin gebruiken sommige wetenschappelijke toepassingen afzonderlijke positieve en negatieve nullen, net als sommige binaire getalsystemen voor computergebruik (bijvoorbeeld gehele getallen die zijn opgeslagen in het teken en de grootte of de complement- formaten van enen , of drijvende-kommagetallen zoals gespecificeerd door de IEEE-standaard met drijvende komma ) .

Zie ook

Opmerkingen:

Referenties

Verder lezen

  • Burkov, SE (1987). "Eendimensionaal model van de quasikristallijne legering". Tijdschrift voor statistische fysica . 47 (3/4): 409-438. Bibcode : 1987JSP....47..409B . doi : 10.1007/BF01007518 . S2CID  120281766 .
  • Branden, Bob (maart 1997). "81.15 Een geval van conflict". De Wiskundige Gazette . 81 (490): 109-112. doi : 10.2307/3618786 . JSTOR  3618786 .
  • Calvert, JB; Tuttle, SEH; Martin, Michael S.; Warren, Peter (februari 1981). "The Age of Newton: een intensieve interdisciplinaire cursus". De geschiedenisleraar . 14 (2): 167-190. doi : 10.2307/493261 . JSTOR  493261 .
  • Choi, Younggi; Doen, Jonghoon (november 2005). "Gelijkheid betrokken bij 0,999 ... en (-8) 1/3". Voor het leren van wiskunde . 25 (3): 13-15, 36. JSTOR  40248503 .
  • Choong, Kentucky; Daykin, DE; Rathbone, CR (april 1971). "Rational Benaderingen tot ". Wiskunde van de berekening . 25 (114): 387-392. doi : 10.2307/2004936 . JSTOR  2004936 .
  • Edwards, B. (1997). "Het begrip en het gebruik van wiskundige definities van een student in echte analyse". In Dossey, J.; Swafford, JO; Parmentier, M.; Dossey, AE (red.). Proceedings van de 19e jaarlijkse bijeenkomst van het Noord-Amerikaanse hoofdstuk van de International Group for the Psychology of Mathematics Education . 1 . Columbus, OH: ERIC Clearinghouse voor wetenschap, wiskunde en milieueducatie. blz. 17-22.
  • Eisenmann, Petr (2008). "Waarom is het niet waar dat 0,999... < 1" (PDF) . Het onderwijzen van wiskunde . 11 (1): 35-40 . Ontvangen 4 juli 2011 .
  • Ely, Robert (2010). "Niet-standaard student opvattingen over oneindig kleine". Tijdschrift voor onderzoek in wiskundeonderwijs . 41 (2): 117-146. doi : 10.5951/jresematheduc.41.2.0117 .
    Dit artikel is een veldstudie waarbij een student betrokken was die een Leibniziaanse theorie van oneindig kleine getallen ontwikkelde om haar te helpen calculus te begrijpen, en in het bijzonder om 0,999... te verklaren die kleiner is dan 1 met een oneindig kleine 0,000...1.
  • Ferrini-Mundy, J.; Graham, K. (1994). Kaput, J.; Dubinsky, E. (red.). "Onderzoek in calculus leren: begrip van limieten, afgeleiden en integralen". MAA-opmerkingen: onderzoeksproblemen bij het leren van wiskunde . 33 : 31-45.
  • Lewis, Joseph (2006). "Theorema van Midy voor periodieke decimalen". arXiv : math.NT/0605182 .
  • Gardiner, Tony (juni 1985). "Oneindige processen in de elementaire wiskunde: hoeveel moeten we de kinderen vertellen". De Wiskundige Gazette . 69 (448): 77-87. doi : 10.2307/3616921 . JSTOR  3616921 .
  • Monaghan, John (december 1988). "Real Mathematics: een aspect van de toekomst van A-Level". De Wiskundige Gazette . 72 (462): 276-281. doi : 10.2307/3619940 . JSTOR  3619940 .
  • Navarro, Maria Angeles; Carreras, Pedro Pérez (2010). "Een socratisch methodologisch voorstel voor de studie van de gelijkheid 0,999...=1" (PDF) . Het onderwijzen van wiskunde . 13 (1): 1734 . Ontvangen 4 juli 2011 .
  • Przenioslo, Malgorzata (maart 2004). "Beelden van de functiegrens gevormd in de loop van wiskundige studies aan de universiteit". Educatieve studies in de wiskunde . 55 (1-3): 103-132. doi : 10.1023/B:EDUC.0000017667.70982.05 . S2CID  120453706 .
  • Sandefur, James T. (februari 1996). "Zelfgelijkenis gebruiken om lengte, oppervlakte en afmeting te vinden". The American Mathematical Monthly . 103 (2): 107-120. doi : 10.2307/2975103 . JSTOR  2975103 .
  • Sierpiska, Anna (november 1987). "Humanities studenten en epistemologische obstakels in verband met limieten". Educatieve studies in de wiskunde . 18 (4): 371-396. doi : 10.1007/BF00240986 . JSTOR  3482354 . S2CID  144880659 .
  • Szydlik, Jennifer Earles (mei 2000). "Wiskundige overtuigingen en conceptueel begrip van de limiet van een functie". Tijdschrift voor onderzoek in wiskundeonderwijs . 31 (3): 258-276. doi : 10.2307/749807 . JSTOR  749807 .
  • Lang, David O. (2009). "Dynamische wiskunde en het mengen van kennisstructuren in de calculus". ZDM Wiskunde Onderwijs . 41 (4): 481-492. doi : 10.1007/s11858-009-0192-6 . S2CID  14289039 .
  • Tall, David O. (mei 1981). "Intuïties van oneindigheid". Wiskunde op school . 10 (3): 30-33. JSTOR  30214290 .

Externe links

Opiniones de nuestros usuarios

Walter Bouma

Ik dacht dat ik alles al wist over 0.999..., maar in dit artikel kwam ik erachter dat sommige details waarvan ik dacht dat ze goed waren, toch niet zo goed waren. Bedankt voor de informatie

Els Damen

Soms als je op internet ergens informatie over zoekt, vind je artikelen die te lang zijn en die blijven doorgaan over dingen die je niet interesseren. Ik vond dit artikel over 0.999... leuk omdat het to the point is en precies gaat over wat ik wil, zonder te verdwalen in nutteloze informatie., Het is een goed artikel over 0.999...

Pauline Van Beek

Ik weet niet hoe ik bij dit artikel over 0.999..._ kwam, maar ik vond het erg leuk.

Frank Van Der Wal

Dank je voor dit artikel over 0.999..., net wat ik nodig had., Dank je voor dit artikel over 0.999..., net wat ik nodig had.