Deler

Een geheel getal ${\displaystyle a}$ is een deler of factor van een geheel getal ${\displaystyle b}$, als er een geheel getal ${\displaystyle k}$ bestaat waarvoor geldt dat ${\displaystyle ak=b}$. De bewering dat ${\displaystyle a}$ een deler van ${\displaystyle b}$ is, dat ${\displaystyle b}$ door ${\displaystyle a}$ kan worden gedeeld, wordt in de wiskunde meestal genoteerd als ${\displaystyle a|b}$.

Een paar voorbeelden:

• 2 is een deler van 8 (ofwel 2 | 8 ), want 2 × 4 = 8.
• 3 is geen deler van 8, omdat er geen enkel geheel getal ${\displaystyle k}$ is zo dat ${\displaystyle 3k=8}$.
• Voor elk geheel getal ${\displaystyle a}$ geldt ${\displaystyle a|0}$, omdat ${\displaystyle a\times 0=0}$.
• Voor geen enkel geheel getal ${\displaystyle b}$ verschillend van 0 geldt ${\displaystyle 0|b}$, omdat er geen ${\displaystyle k}$ is met ${\displaystyle 0\times k=b}$.
• Volgens deze definitie is 0 | 0 omdat 0 × 0 = 0.
• Voor elk positief geheel getal ${\displaystyle a}$ geldt dat ${\displaystyle a|a}$ en dat ${\displaystyle 1|a}$, omdat ${\displaystyle a\times 1=a}$.

Een andere manier om aan te geven dat ${\displaystyle b}$ door ${\displaystyle a}$ kan worden gedeeld, is door te zeggen dat bij deling van ${\displaystyle b}$ door ${\displaystyle a}$ er geen rest overblijft: ${\displaystyle b}$ mod ${\displaystyle a}$ = 0.

Als ${\displaystyle a|b}$ en ${\displaystyle a}$ een priemgetal is, dan noemen we ${\displaystyle a}$ ook wel een priemfactor van ${\displaystyle b}$.

Als twee verschillende gehele getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ allebei een deler ${\displaystyle c}$ hebben, dan heet ${\displaystyle c}$ een gemene of gemeenschappelijke deler van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$. De grootste gemene deler van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ wordt genoteerd als ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,b)}$.

Een positief getal ${\displaystyle a}$ wordt een echte deler van ${\displaystyle b}$ genoemd als ${\displaystyle a}$ een deler is van ${\displaystyle b}$, die ook in absolute waarde kleiner is, dus niet het getal zelf. Priemgetallen hebben maar één echte deler, namelijk 1. Bedenk dat −2 een deler is van 6, immers ${\displaystyle -2\times (-3)=6}$. Als men over delers praat werkt men in de optelgroep van de gehele getallen.

Als ${\displaystyle a}$ een deler is van ${\displaystyle b}$, is ook ${\displaystyle -a}$ een deler van ${\displaystyle b}$. Om deze praktische reden beperkt men zich meestal in de getaltheorie tot het noemen van de positieve delers. Bijvoorbeeld: {delers van 6} = {1,2,3,6} en niet {−6,−3,−2,−1,1,2,3,6}

• Tabel van delers, alle getallen tot en met 1000 met hun delers