Fermi-Diracstatistiek

De Fermi-Diracstatistiek of Fermi-Diracverdeling is een model uit de kwantumfysica dan wel de statistische thermodynamica dat het te verwachten aantal fermionen beschrijft dat een bepaalde energie ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}} $\epsilon _{i}$ heeft. Dit model is genoemd naar de natuurkundigen Enrico Fermi en Paul Dirac.

Formule

De Fermi-Diracstatistiek is opgebouwd uit de volgende formule:

n i = g i e ( ϵ i − μ ) / k T + 1 {\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}}

n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}

Hierin geldt:

n i {\displaystyle n_{i}\ }

n_{i}\

is het aantal deeltjes in toestand i, ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}\ }

\epsilon _{i}\

is de energie van toestand i, g i {\displaystyle g_{i}\ }

g_{i}\

is het aantal toestanden dat deze energie ϵ i {\displaystyle \epsilon _{i}\ }

\epsilon _{i}\

heeft μ {\displaystyle \mu }

\mu

is de chemische potentiaal k is de Boltzmannconstante T is de absolute temperatuur.

Fermi-functie

Fermi-verdeling voor verschillende temperaturen van 0 K tot 1200 K (rode lijn: T = 0 K)

Bij gangbare temperaturen kan de temperatuurafhankelijkheid van de chemische potentiaal μ {\displaystyle \mu } $\mu$ verwaarloosd worden en kan in plaats hiervan een temperatuuronafhankelijk fermi-niveau (genoteerd als E F {\displaystyle E_{F}\ } $E_{F}\$ ) gebruikt worden:

F ( E ) = 1 e ( E − E F ) / k T + 1 {\displaystyle F(E)={\frac {1}{e^{(E-E_{F})/kT}+1}}}

F(E)={\frac {1}{e^{(E-E_{F})/kT}+1}}

Voor g i {\displaystyle g_{i}\ } $g_{i}\$ is een waarde van 1 genomen (ofwel iedere energie kan één deeltje 'bevatten'), dus het gaat hier om de bezettingsgraad van energieniveau E. Deze functie wordt de fermi-functie genoemd.

Zie ook

Literatuur

Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York.