Potentiaalverschil

Het potentiaalverschil in geval van elektriciteit wordt gedefinieerd als de hoeveelheid arbeid die per ladingseenheid verricht moet worden om een elektrische lading van het eerste punt naar het tweede punt te verplaatsen. De potentialen, en dus ook hun verschil, hebben vaak betrekking op de potentiële energie met betrekking tot een eenheid van lading of massa.

Elektrisch potentiaalverschil

Definitie

Het elektrisch potentiaalverschil wordt gedefinieerd als de arbeid die het elektrisch veld verricht om een positieve eenheidslading van punt B {\displaystyle B} $B$ naar A {\displaystyle A} $A$ te bewegen.

De lijnintegraal van de elektrische veldsterkte is onafhankelijk van zijn baan, en kan worden uitgedrukt als een scalaire functie V B A {\displaystyle V_{BA}} $V_{BA}$ die eenduidig bepaald is door het vastgelegde begin- en eindpunt ( A {\displaystyle A} $A$ en B {\displaystyle B} $B$ ). Dan is volgens deze definitie:

V B A = ∫ B A E → ⋅ d l → = − ∫ A B E → ⋅ d l → {\displaystyle V_{BA}=\int _{B}^{A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=-\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}}

V_{BA}=\int _{B}^{A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=-\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}

Hierbij kan worden waargenomen dat de veldsterkte de uitgeoefende kracht per ladingseenheid is. Waardoor V B A {\displaystyle V_{BA}} $V_{BA}$ de arbeid moet zijn die verricht wordt door het veld om een ladingseenheid te verplaatsen in de ruimte.

Elektrische potentiaal

Als een van de punten, A {\displaystyle A} $A$ of B {\displaystyle B} $B$ , als een vast referentiepunt wordt gekozen, wordt de functie V B A {\displaystyle V_{BA}} $V_{BA}$ een functie die alleen afhankelijk is van de coördinaten van het punt B {\displaystyle B} $B$ . Dus er geldt V B A = V ( x , y , z ) {\displaystyle V_{BA}=V(x,y,z)} $V_{BA}=V(x,y,z)$ . Deze functie wordt de potentiaal van het elektrische vectorveld E → {\displaystyle {\vec {E}}} ${\vec {E}}$ genoemd, en is zelf een scalaire functie uitgedrukt in de SI-eenheid volt V.

Potentiaal van een puntlading

Over het algemeen wordt, als het systeem bestaat uit puntladingen, het referentiepunt A {\displaystyle A} $A$ vast in oneindig gekozen. Hierdoor wordt de afstand van de puntlading tot A {\displaystyle A} $A$ : r A = ∞ {\displaystyle r_{A}=\infty } $r_{A}=\infty$ , waardoor de volgende formule voor de potentiaal van die puntlading geschreven kan worden:

V ( x , y , z ) = − ∫ ∞ B E → ⋅ d l → = − q 4 π ε 0 ∫ r A = ∞ r B = r d r r 2 = {\displaystyle V(x,y,z)=-\int _{\infty }^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{r_{A}=\infty }^{r_{B}=r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}=}

V(x,y,z)=-\int _{\infty }^{B}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{r_{A}=\infty }^{r_{B}=r}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}=

= − q 4 π ε 0 ( 1 r − 1 ∞ ) {\displaystyle =-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{\infty }})}

=-{\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{\infty }})

= q 4 π ε 0 r {\displaystyle ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}}

={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}

Hierin is r {\displaystyle r} $r$ de voerstraal tussen de puntlading q {\displaystyle q} $q$ en het punt B = ( x , y , z ) {\displaystyle B=(x,y,z)} $B=(x,y,z)$ .

Potentiaal voor meerdere puntladingen

Voor meerdere puntladingen q 1 , q 2 , … , q n {\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}} $q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$ is de elektrische potentiaal de totale som van de afzonderlijke potentialen:

V = q 1 4 π ε 0 r 1 + q 2 4 π ε 0 r 2 + … + q n 4 π ε 0 r n = 1 4 π ε 0 ∑ i q i r i {\displaystyle V={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{1}}}+{\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{2}}}+\ldots +{\frac {q_{n}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{n}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{r_{i}}}}

V={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{1}}}+{\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{2}}}+\ldots +{\frac {q_{n}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{n}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{r_{i}}}

Als de ladingen continu verdeeld zijn, met ladingsdichtheid ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , wordt de sommatie een integraal die zich uitstrekt over de volledige ruimte waarin de lading ligt.

V = 1 4 π ε 0 ∭ ρ ( r → ) d r → r {\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \rho ({\vec {r}}){\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{r}}}

V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \rho ({\vec {r}}){\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{r}}

Potentiaalvlakken

Een potentiaalvlak is een oppervlak waarvan elk punt dezelfde potentiaal heeft. Een eigenschap van potentiaalvlakken is dat de veldsterkte altijd loodrecht op het potentiaalvlak staat. Dat wil zeggen dat de elektrische veldlijnen dus ook altijd loodrecht op een potentiaalvlak staan.

Voorbeeld

De potentiaalvlakken om een puntlading in de ruimte zijn de bollen met de lading als middelpunt.

Zwaartekrachtspotentiaal

Het zwaartekrachtspotentiaalverschil tussen twee punten in een zwaartekrachtsveld is de arbeid die verricht moet worden om een voorwerp van een massaeenheid van het ene punt naar het andere te verplaatsen. Dit potentiaalverschil kan ook gedefinieerd worden als het verschil tussen de potentiële energie van de massaeenheid in punt A {\displaystyle A} $A$ en in punt B {\displaystyle B} $B$ .

Voorbeeld

In het geval van de waterkringloop is er een potentiaalverschil als gevolg van de zwaartekracht tussen het water dat zich hoger dan zeeniveau bevindt en het water in zee. Hierdoor zal het water van hoog naar laag stromen. In dit geval zorgt de zon ervoor dat het potentiaalverschil overwonnen kan worden, doordat de zon de energie verschaft voor de potentiële energie van het water boven zeeniveau en het transport van het water.

Literatuur

M. Alonso & E. J. Finn, Fundamentele Natuurkunde ten dienste van het wetenschappelijk onderwijs - Deel 1 : Mechanica, Delta Press BV, Amerongen, 1996, 372 p., ISBN 9789066746077
D. C. Giancoli, Natuurkunde - Deel 1 : Mechanica en Thermodynamica, Pearson Benelux, Amsterdam, 2012 (3de druk - 4e editie), 640 p, ISBN 9789043013246
D. C. Giancoli, Natuurkunde - Deel 2 : Elektriciteit, magnetisme, optica en moderne fysica, Pearson Benelux, Amsterdam, 2014 ( - 4.5e editie), 767 p, ISBN 9789043028691
Goldstein - Safko - Poole, Classical Mechanics (Third edition), Pearson Education Limited, Harlow - Essex (GB), 2014, 638 p, ISBN 9781292026558

Voetnoten

↑ M. Alonso & E. J. Finn, Fundamentele Natuurkunde ten dienste van het wetenschappelijk onderwijs - Deel 2: Elektromagnetisme, Delta Press BV, Amerongen, 1994, 31 blz., ISBN 9789066746046
↑ Daarin is E ⋅ d l {\displaystyle E\cdot dl} $E\cdot dl$ het inwendig product van E {\displaystyle E} $E$ en d l . {\displaystyle dl.} $dl.$