Transformatie (wiskunde)

In de wiskundige verzamelingenleer is een transformatie een (partiële) functie van een verzameling naar zichzelf, met andere woorden: een relatie

${\displaystyle R\subset A\times A}$

met de eigenschap dat iedere ${\displaystyle a\in A}$ hoogstens eenmaal optreedt als beginpunt van een koppel van de relatie.

"Verdubbeling" en "halvering" zijn transformaties van de gehele getallen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. De eerste is een totale functie (afbeelding), de tweede is slechts een partiële functie.

De identieke transformatie van een verzameling ${\displaystyle A}$ bestaat uit alle identieke koppels ${\displaystyle (a,a)}$ van elementen van ${\displaystyle A}$.

In een constante of constante transformatie hebben alle koppels hetzelfde tweede lid ("eindpunt").

In de vlakke meetkunde treden de volgende voorbeelden op van transformaties van het vlak: projecties, verschuivingen, puntspiegelingen en algemene draaiingen, spiegelingen, homothetieën en afschuivingen.

De samengestelde relatie van twee transformaties ${\displaystyle T}$ en ${\displaystyle U}$ van een verzameling ${\displaystyle A}$ is opnieuw een transformatie van ${\displaystyle A}$. De volgorde is daarbij van belang

${\displaystyle T\circ U}$ en ${\displaystyle U\circ T}$

kunnen best verschillend zijn.

De transformaties die in onderstaande secties beschouwd worden, zijn in feite meta-afbeeldingen die een functie, een element uit een collectie van functies, afbeelden op een functie uit een (eventueel) andersoortige collectie van functies.

De laplacetransformatie wordt gebruikt om differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden op te lossen. Ze wordt ook gebruikt bij het bestuderen van lineaire tijdsinvariante systemen.

De Z-transformatie wordt veelal gebruikt om rijen en reeksen op te lossen in de wiskunde maar is eigenlijk ontworpen om voor discrete waarden toch de Laplacetransformatie te kunnen doorvoeren.

De fouriertransformatie wordt toegepast op continue functies met als domein ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die niet te snel stijgen als ${\displaystyle x}$ naar ${\displaystyle \pm \infty }$ gaat. Er bestaat ook een algemene fouriertransformatie op tamme distributies, dat is een verzameling die niet alleen echte functies bevat.

• Opmerking: naast deze continue Fouriertransformatie bestaat er een variant die werkt op functies die als domein een deel-interval van de gehele getallen hebben: de DFT. De FFT is een implementatievorm van de DFT. De inverse transformatie is de IDFT.

• Lineaire transformatie