Constante van Gelfond

Uiterlijk naar zijbalk verplaatsen verbergen

Het getal e π {\displaystyle e^{\pi }} $e^{\pi }$ , oftewel e tot de macht π {\displaystyle \pi } $\pi$ , wordt de constante van Gelfond genoemd. De numerieke waarde bedraagt bij benadering 23,1406926...

De constante kan ook geschreven worden als:

( − 1 ) − i {\displaystyle (-1)^{-i}}

(-1)^{-i}

waarin i {\displaystyle i} $i$ de imaginaire eenheid is.

Definieert men

k 0 = 1 2 {\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}

k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

en voor n > 0 {\displaystyle n>0} $n>0$

k n + 1 = 1 − 1 − k n 2 1 + 1 − k n 2 {\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}

k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}

dan convergeert

( 4 k n + 1 ) 2 − n {\displaystyle \left({\frac {4}{k_{n+1}}}\right)^{2^{-n}}}

\left({\frac {4}{k_{n+1}}}\right)^{2^{-n}}

snel naar e π {\displaystyle e^{\pi }} $e^{\pi }$ .

Eigenschappen

Het getal e π {\displaystyle e^{\pi }} $e^{\pi }$ is een transcendent getal. Dit werd aangetoond door Aleksander Gelfond aan de hand van de stelling van Gelfond-Schneider.

Het is opmerkelijk dat van andere combinaties van e en π {\displaystyle \pi } $\pi$ zoals π + e {\displaystyle \pi +e} $\pi +e$ , π e {\displaystyle \pi e} $\pi e$ of π e {\displaystyle \pi ^{e}} $\pi ^{e}$ (nog) niet bekend is of die transcendent of zelfs maar irrationaal zijn.

Bijzondere getallen